2.2.3 直线的一般式方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3　直线的一般式方程 形式 条件 方程 点斜式 过点( x0,y0), 斜率为k 斜截式 在y轴上的截距为b,斜率为k 两点式 过P1（x1, y1), P2（x2, y2) 截距式 在y轴上的截距为b,在x轴上的截距为a 问：上述四种直线方程具有怎样的共同特点？ 能否写成统一的形式？ 上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ? x+ ? y+ ? =0 上述四式都可以写成二元一次方程的形式： Ax+By+C=0, A、B不同时为0. 因此，在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程. x=x1 y=kx+b 在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角 下面研究直线与二元一次方程的关系： 即 kx-y+b=0， 与二元一次方程一般式：Ax+By+C=0 比较，有 A=k，B = －1，C=b . 比较，有 A=1，B = 0，C= －x1 . 即 x-x1= 0 ， 反过来，任何关于 x、y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 都能表示一条直线吗？ 下面证明：在平面直角坐标系中,任何关于 x、y 的二元一次方程 A x+B y +C=0 都表示一条直线. 二元一次方程是 A x+B y +C=0. ① （1）当B≠ 0时， 方程①可化为 （2）当B= 0时， 由于A、B不同时为0， 必有A≠ 0 方程①可化为 证明： 因此，在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程 A x+B y +C=0 都表示一条直线。 （其中A、B不同时为0） 探究：在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线 （1）平行于X轴：（2）平行于Y轴： （3）与X轴重合：（4）与Y轴重合： 分析: (1)直线平行于X轴时,直线的斜率是为零,在X轴上的截距不为0．即 A=0 , B 0 , C 0. (2) B=0 , A 0 , C 0. (3) A=0 , C=0 , B 0. (4) B=0 , C=0 , A 0. 我们把关于x、y二元一次方程： Ax+By +C=0 （其中A、B不同时为0即： ） 叫做直线方程的一般式. 解： 例2. 求下列直线的斜率和在y轴上的截距 解： 变式2.　把直线方程 化为斜截式______，化为截距式______． 解： ∴ 斜截式为 截距式为 例3. 直线 l 过点(6，－4)，倾斜角的余弦是 ， 求直线 l 的一般式方程． 解： ∵倾斜角α的范围是： 由题意： ∴ 故求直线 l 的方程为 即 小结： 点斜式 斜率和一点坐标 斜截式 斜率k和截距b 两点坐标 两点式 点斜式 两个截距 截距式 化成一般式 Ax+By+C=0 直线方程的五种形式的比较 名称 方程的形式 常数的几何意义 适应范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 (x1,y1)是直线上一定点,k是斜率 k是斜率,b是直线在y轴上的截距 (x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点 a,b是直线在x,y轴上的非零截距 A,B,C为系数 任何位置的直线 不垂直x轴和y轴,且不过原点 不垂直x轴和y轴 不垂直x轴 不垂直x轴 课后作业 2. 资料 2.2.3 1. 教材P66练习 第67页 习题 2.2T1，10-15 $$