《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-2名师导学：第三章 数系的扩充与复数的引入（含解析）

第 3　 章 数系的扩充与复数的引入　　　 第1课时　数系的扩充 　 教学过程 随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾. 一、 问题情境 怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢? 二、 数学建构 问题1　怎样解决-1也能开平方的问题? 解　引入虚数单位i,规定: ① i2=-1; ② 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. i是-1的一个平方根. 问题2　根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数? 解　① 复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示. ② 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式. 问题3　复数与实数有什么关系? 解　对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0. 　(图1) 　　学生分组活动 活动1　复数集C和实数集R之间有什么关系? 活动2　如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类? 活动3　复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗? 问题4　a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗? 解　是必要不充分条件. 问题5　两个复数相等的充要条件是什么? 解　两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di⇔a=c,b=d. 问题6:任何两个复数都能比较大小吗? 解　如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小. 三、 数学运用 【例1】　(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P