1.1.1 空间向量及其线性运算课件1-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 1.1 空间向量及其运算 新知探究 2 新知引入 教学目标： （1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展 数学抽象素养； （2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示； （3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律； （4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养. 教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用 教学难点：空间向量的线性运算及其应用 F1 F2 F3 G 滑翔伞飞行员在滑翔的过程中受到的合力怎么分析？ 新课讲授 问题1：平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 平面向量：平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量。平面向量的大小叫做向量的模或长度，记作或丨a丨 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量，称为平面向量。平面向量的大小叫做向量的模或长度，记作或丨a丨 空间向量的相关的概念 问题2：如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示给出空间向量的表示吗？ 平面向量的表示 空间向量的表示 1、有向线段 2、字母a，b，c…… 3、坐标表示：a=（x,y） 1、有向线段 、 、 2、字母a，b，c…… 3、坐标表示：a=（x,y,z） B A a 问题3：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新概念。你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 零向量：模为0 的向量，记作0；零向量的方向是任意。 单位向量：模为1 的向量。 相等向量：模和方向都相同的两个向量，记作a=b。 相反向量：模相同，方向相反的两个向量，为0 的向量，记作a=-b 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作a∥b； 规定：零向量和任意向量共线 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量就做共线向量或平行向量，记作a∥b； 规定：零向量和任意向量共线 问题 在学习完平面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？ 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 空间向量的线性运算 加法   减法 数乘   空间向量的运算（同平面向量） 当λ＝0时，λa＝0 想一想 向量起点的选择对向量线性运算的结果有影响吗？ 没有影响，向量起点可以平移到任何位置. 空间向量的运算律 运算律 交换律：＋＝＋； 结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)； 分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.   （3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况： ①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， ＝， ＝，则＝+， ＝+. 由作法知∥，∠＝∠，| |＝λ||.所以＝.所以∽. 所以＝，∠＝∠. 因此点，，在同一条直线上，||＝||， 与的方向也相同.所以（+）＝+. ②当<0时，可类似证明（+）＝+. 思考　怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 思考　由数乘λa＝0，可否得出λ＝0? 不能.λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 练习P5     新知探究 思考：对任意两个空间向量 与 ，如果 ， 与 有什么位置关系？反过来， 与 有什么位置关系时， ？ 平面向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb . 对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb . 共线定理及其应用 空间向量共线的充要条件 新知探究 共线定理：对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .   共线定理及其应用 新知探究 如图，O是直线 l上一点，在直线 l上取非零向量 a， 则对于直线l上任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ，使得 . 我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 注意：(1)方向向量一定是非零向量 (2)一条直线的所有方向向量都互相平行 共线定理及其应用 a b a b O A B b 结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 思考：它们确定的平面是否唯一？ 思考：空间任意