1.1.1 空间向量及其线性运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 新知探究 2 新知引入 教学目标： （1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展 数学抽象素养； （2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示； （3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律； （4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养. 教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用 教学难点：空间向量的线性运算及其应用 1、定义： 平面内既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、表示法： 回顾 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a － b a ＋ b a (k>0) k a (k<0) k 向量的数乘 a 首尾相接,首尾连 共起点,对角线 共起点,连终点,指向被减向量 回顾 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 回顾 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 回顾 章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，用图示法表示这些力 资料 起点 终点 探究新知 在空间中,具有大小和方向的量. 1).空间向量： 探究 空间向量的概念及表示 知识要点2 2)零向量 3)单位向量 当有向线段的起点A与终点B重合时， 4)相反向量 5)相等向量 思考1：空间中任意两个向量共面吗？ 共面 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.   6)共线向量（平行向量） 知识要点2 问题 平面向量与空间向量有什么区别与联系？ （1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量. （2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同. 问题探究 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算. 那么在学习了空间向量的概念之后，空间向量如何进行线性运算呢？ 复习回顾·平面向量的线性运算 (1)加减运算 三角形法则: 首尾相连 平行四边形法则： 共起点 减法法则： 共起点， 连终点， 指被减 复习回顾·平面向量的线性运算 (2)数乘运算 实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. O A Q P M N a λa (λ>0) λa (λ<0) 问题探究 如何进行空间向量的线性运算？ a b . O α 转化 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1)加减运算： (2)数乘运算： 三角形法则、平行四边形法则 实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. 空间向量线性运算的运算律 ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 问题 如图1.1-6，在平行六面体 中，分别标出 ， 表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 探究 共线向量及方向向量 问题 对任意两个空间向量 a 与 b，如果 ，a与 b有什么位置关系？反过来，a 与 b 有什么位置关系时，？ 类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 a，b ，的充要条件是存在实数 λ ，使 .（共线向量定理） 如图1.1-7，O 是直线 l 上一点，在直线l上取非零向量 a ，则对于直线 l 上任意一点 P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ ，使得 . 与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量. 方向向量 这样，直线 l 上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示。 思考：给定一点