专题12 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(华东师大版）

专题12 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 6 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 10 【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 19 【题型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 27 【题型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 34 【典型例题】 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F． (1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________； (2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由． 【变式训练】 1．在中，，，点O为的中点． (1)若，两边分别交于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　． (2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长． 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【变式训练】 1．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图所示，D为内一点，平分，， ，若，， 求：线段的长．    【变式训练】 1．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．    (1)如图1，若平分，，求的值； (2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，连接， ①求证：； ②，，求的值． 2．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．    (1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________． (2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由． (3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是． 【变式训练】 1．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 已知△ABC． (1)观察发现 如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由 (2)猜想论证 如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由 (3)类比探究 如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明． 2．解答 (1)问题背景 如图（1），已知，平分，求证：． (2)尝试应用： 如图（2），在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)拓展创新： 如图（3），在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．       3．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形． (1)【基