专题12 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

专题12 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 共顶点的等边三角形】 1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 10 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 17 【典型例题】 【类型一 共顶点的等边三角形】 例题：（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，、交于点P，且分别与、交于点M，N，证明：      (1)； (2)； (3)． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，与是等边三角形，连接、，有以下结论：（）；（）；（）；（）；（）无论如何改变的度数，与始终全等．其中正确结论的序号为 ． 2．（2023·安徽安庆·校考三模）已知和△ADE都是等边三角形，分别连接．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②延长交于点F，求证：； (2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接．求证：平分． 3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．    (1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论： (3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案． 4．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．        (1)试判断和的数量关系，并说明理由． (2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 例题：（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知和均为等腰直角三角形，且 (1)试说明： (2)试判断和的位置关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明） (2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，且，与交于点， (1)求证：； (2)求证：． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）与均为等腰直角三角形，． (1)如图1，当，，在同一直线时，的延长线与交于点．求证：； (2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论； (3)如图3，当，，在同一直线时（，在点的异侧），与交于点，，求证：． 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 例题：（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则 ①___________（填>、＜或=） ②连接线段和，则___________（填>、＜或=） (2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由 【变式训练】 1．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．    (1)试说明：； (2)求的度数． 2．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．    (1)如图1，当时， ①、的形状是____________； ②求证：． (2)若， ①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 原创精品资源