专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线之三大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线之三大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 14 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 24 【典型例题】 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【变式训练】 1．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，，分别与边、交于E、F两点．下列结论：①，②，③S四边形CEDF，④始终为等腰直角三角形．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    3．（2023·山东菏泽·校考三模）如图，中，，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且．求证：． 4．在中，，，点O为的中点． (1)若，两边分别交于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　． (2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长． 5．（2022秋·山东威海·八年级校考期中）在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．    (1)观察线段和之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； (2)观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明； (3)把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由． 6．（2023春·四川达州·八年级校考期末）综合与实践： 动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）斜边AB的中点处 发现结论： （1）如图1，三角板的两边，分别与另一块三角板的边，交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边，上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化． 问题解决： ①请你帮他们说明的理由； ②若，请你帮他们求出四边形的面积． 拓展延申： （2）如图2，连接，当，，那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值． 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． (1)求证：BD＝CE； (2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【变式训练】 1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知，点C在边上，，点D，E在边上，，若，求的长．    2．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 3．已知在中，，且=．作，使得． (1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数． 4．（2023春·四川成都·七年级统考期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：（2023春·江苏南通·七年级统考期末）如图，已知平分且点M是射线上一动点，交射线于点N．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求证：； (3)试探究线段之间的数量关系． 【变式训练】 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．