专题07 解题技巧专题：构造等腰三角形的三大技巧-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题07 解题技巧专题：构造等腰三角形的三大技巧 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 1 【类型二 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 12 【类型三 利用倍角关系构造新等腰三角形】 22 【典型例题】 【类型一 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 例题：（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．    (1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________． (2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由． (3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是． 【变式训练】 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．2 2．（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）如图，是的角平分线，交于点，则是 ． 3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，平分，是 的外角平分线，两条角平分线交于点 ，交于点 ．且，，则 ． 4．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）已知：中，、的角平分线相交于点，过作交于点，交于点，求证：． 5．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 已知△ABC． (1)观察发现 如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由 (2)猜想论证 如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由 (3)类比探究 如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明． 6．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点． (1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．） (2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明； (3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________． 【类型二 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中． (1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值； (2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：． (3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值． 【变式训练】 1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形．    2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在中，D为延长线上一点，且交于点F．   　　   (1)求证：是等腰三角形； (2)在（1）的条件下（如图2），F为中点．求证：． 3．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 4．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数 【类型三 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例题：（2022秋·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．    【变式训练】 1．（2022春·浙江·八年级专题练习）在中，， (1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明； (2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明； ②如图③，当，为的外角平分线时，线段