第6讲 空间距离的向量求法-2024年新高考数学《大题专项训练之立体几何篇》

第6讲 空间距离的向量求法 1．（2023·全国·高二专题练习）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上． (1)求证：； (2)若点到直线的距离为，求的值． 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离． 3．（2023·全国·高二专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点． (1)求点M到直线的距离； (2)求直线PD与平面所成角的正弦值. 4．（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱中，，与交于为棱上一点，且，点到平面的距离为. (1)判断是否在平面内，并说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 5．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离. 6．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考开学考试）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求到平面的距离． 7．（2022春·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，，PA⊥底面ABC，M是PB上的动点，且，N是PC的中点． (1)若时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明； (2)若平面PBC与平面ABC所成的角为，点M到平面PAC的距离是，求的值． 8．（2022秋·湖南永州·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，. (1)求证：面； (2)求二面角的余弦值； (3)请问棱上是否存在点Q到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 9．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面； (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 10．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图，三棱柱中，面面，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 11．（2023秋·北京·高二北京市陈经纶中学校考开学考试）如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求线段的长. 12．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点A到平面的距离． 13．（2023春·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角等于，求点B到平面的距离. 14．（2022·北京房山·统考一模）如图，在三棱柱中，平面， (1)求证：平面； (2)若，求 ①与平面所成角的正弦值； ②直线与平面的距离. 15．（2023秋·高一单元测试）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为60°，，，，，． (1)求证：； (2)求直线DE与平面AEF所成角的正弦值． (3)直接写出的值，使得，且三棱锥的体积为． 16．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，． （1）若中点为，证明：平面； （2）求点到平面的距离． 17．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求到平面的距离； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点． (1)点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由； (2)若，求点D到平面AEF的最大距离． 19．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形． (1)求证：； (2)若，点E是侧棱上的动点，且