第5讲 空间存在性问题-2024年新高考数学《大题专项训练之立体几何篇》

第5讲 空间存在性问题 1．（2023·辽宁锦州·校考一模）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. (1)证明：. (2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使. (1)证明：平面平面； (2)试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（2022秋·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由. 4．（2021春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 5．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点． (1)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．（2022·山东德州·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？ 7．（2023春·上海·高二期中）在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. (1)求证：平面BCDE； (2)求CM与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由. 8．（2023·北京·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在， 求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 10．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 11．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且． (1)求证：； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 12．（2022·广东江门·统考模拟预测）如图，在正四棱锥中，，，P在侧棱上，平面. (1)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 13．（2022秋·陕西渭南·高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点. (1)求证：平面BDE. (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度. (3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由. 14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）如图，直三棱柱中，为的中点，，，. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得二面角的平面 角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 15．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答 如图，在五面体中，已知___________，，，且，. (1)求证：平面与平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 16．（2023·湖南郴州·校联考二模）如图，直四棱柱的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是的中点，． (1)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (2)当k取何值时，O在平面