第4讲 面面角及应用的向量求法-2024年新高考数学《大题专项训练之立体几何篇》

第4讲 面面角及应用的向量求法 1．（2022秋·全国·高二期中）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. (1)求证：； (2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 2．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高三兴城市高级中学校考期末）如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点． (1)当EN∥平面MBD时，求λ的值； (2)试探究：随着λ值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小． 4．（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点. (1)若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC； (2)若BE=BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置. 5．（2023春·高二单元测试）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，. (1)证明:； (2)若，求二面角的余弦值. 7．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点. (1)求证：直线平面SAC； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由. 8．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧上的一点，，点H为线段的中点，且，点G为线段上一动点． (1)试确定点G的位置，使平面，并给予证明； (2)求二面角的大小． 9．（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面. (1)证明：. (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 10．（2023秋·四川眉山·高三仁寿一中校考开学考试）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）. (1)求证：AF⊥CD； (2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值. 11．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）如图（1），在中，，将沿折起，使得点到达点处，如图（2）. (1)若，求证：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 12．（2023春·江西宜春·高二宜春市第三中学校考期中）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值． 13．（2022秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，. (1)证明：平面. (2)若为的中点，求二面角的大小. 14．（2022·全国·高一专题练习）如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，， (1)证明：平面ABD； (2)若，求二面角的余弦值． 15．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）如图，已知圆锥，AB是底面圆О的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，.设二面角与二面角的大小分别为与. (1)求的值； (2)若，求二面角的余弦值. 16．（2022春·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F． (1)证明：平面ABC． (2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值． 17．（2022秋·云南大理·高三鹤庆县第三中学校考阶段练习）如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角． (1)求证：； (2)若，且钝