第3讲 线面角及应用的向量求法-2024年新高考数学《大题专项训练之立体几何篇》

第3讲 线面角及应用的向量求法 1．（2023秋·高二单元测试）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥，平面平面，点为的中点． (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若，求的长． 4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面 (1)证明：； (2)若，且，为的重心．求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2023·广西桂林·校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3． (1)证明：平面ACF⊥平面BEFD； (2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值． 6．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 7．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥的底面为菱形，，，平面．与底面所成角为，设平面与平面交线为． (1)证明：平面； (2)Q为l上的动点，且点Q与点A在平面同侧，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 8．（2023春·福建福州·高二校联考期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． (1)求证：平面BDE； (2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值； (3)求点D到平面ABE的距离． 9．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知多面体中，，且，， (1)证明:； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 10．（2023·天津滨海新·统考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由. 11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，． (1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行； (2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积． 12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点． (1)求证：MN平面PAD； (2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 13．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由． 14．（2023·天津河东·统考二模）如图，且，，且，且．平面ABCD，． (1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； (2)求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值； (3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长． 15．（2023春·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)直线上是否存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点． (1)求证：平面平面PAD； (2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 18．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA2B1B是菱形，AB⊥AC，平面平面，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.