第1讲 直线、平面平行的判断与性质-2024年新高考数学《大题专项训练之立体几何篇》

第1讲 直线、平面平行的判断与性质 1．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 2．（2023春·福建泉州·高一晋江市第一中学校考期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. (1)当为的中点时，求证：平面. (2)当平面，求出点的位置，说明理由. 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，. (1)在线段上是否存在点F，使得平面?说明理由； (2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值. 4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值. 5．（2023·高一课时练习）如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面． (1)证明：平面； (2)若点E到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值． 6．（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中， (1)求证：平面； (2)若二面角，求与面所成角的正弦值. 7．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求点A到平面的距离. 8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正三棱台ABC—DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，. (1)证明：四边形MNFD为矩形； (2)若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值. 9．（2023·全国·高一专题练习）在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE. (1)求证：； (2)若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 10．（2023春·河南周口·高一统考期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小． 11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于.把沿翻折至的位置，连接､. (1)为边的一点，若，求证：平面； (2)当四面体的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 12．（2023春·河南许昌·高二校考期中）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P－ABCD就是阳马结构，PD⊥平面ABCD，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 13．（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD， ，且E，F分别为PC，CD的中点． (1)证明：DE平面PAB； (2)若直线PF与平面PAB所成的角为 ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 14．（2023春·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）如图，正三棱柱中，，点M为的中点． (1)在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由： (2)求点C到平面的距离． 15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点． (1)证明：BE平面PAD； (2)若，平面PAD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 16．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2. (1)证明：图2中的平面； (2)在图2中，若，求该几何体的体积. 17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面平面，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（2023·天津·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点M为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点N，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 19．（2023春·高一单元测试）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为，求点到平面的距离. 20．（2023·全国·高三专题练习）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．