2.2 直线与圆的位置关系（10大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

2.2 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 三、直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 四、与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； 题型一 直线与圆的位置关系判断 【例1】（2023秋·高二课时练习）直线和圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考开学考试）下列直线中，与圆相切的有（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【变式1-4】（2022秋·江西九江·高二永修第一中学校考开学考试）（多选）直线与圆的交点个数不可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 由直线与圆的位置关系求参 【例2】（2022秋·高二单元测试）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【变式2-1】（2023秋·高二课时练习）（多选）已知直线和圆相切，那么a的值可以是（ ） A． B． C．1 D．3 【变式2-2】（2023秋·高二课时练习）（多选）直线与圆有两个不同的交点的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为 . 【变式2-4】（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是 ． 题型三 求直线与圆相交的弦长 【例3】（2022秋·江西景德镇·高二统考期中）直线l：截圆所得的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为（ ） A．2 B．7 C． D． 【变式3-2】（2022秋·北京·高二北京十五中校考期中）圆与直线相交于，两点，则 ．