第三章 代数式（图形、数字规律的探索与整式加减实际应用压轴）-2023-2024学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第三章 代数式（压轴题专练） 一、图形类规律探索 1．数学实践课中：一张纸片，第一次将其撕成四小片,以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去,撕到第2次手中共有7张纸片，问撕到第4次时，手中共有 张，撕到第n次时，手中共有 （用含有n的代数式表示）张． 2．下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴； (2)第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示) (3)若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求的值． (4)请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由? 3．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图“、“洛书“等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到3×3的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． （1）设图1的三阶幻方中间的数字是x，用x的代数式表示幻方中9个数的和为　 　； （2）请你将下列九个数：﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2、0、2、4、6分别填入图2方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； （3）图3是一个三阶幻方，那么标有x的方格中所填的数是　 　； （4）如图4所示的每一个圆中分别填写了1、2、3…19中的一个数字（不同的圆中填写的数字各不相同），使得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等，现在已知该图中七个圆内的数字，则图中的x＝　 　，y＝　 　． 4．数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式： +++…+=1﹣． 探究二：计算+++…+． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式： +++…+=1﹣， 两边同除以2，得+++…+=﹣． 探究三：计算+++…+． （仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程） 解决问题：计算+++…+． （只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n次分割图可得等式：_________， 所以， +++…+=________． 拓广应用：计算 +++…+． 5．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”． 【I】如图，请你用“数形结合”的思想． （1）求的值为　 　； （2）请你利用（1）的结论，求下列各式的值： ①=　 　； ②计算： 【II】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题： （1）a和b之间的关系满足　 ． （2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是　 　． （3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出（b-a）2与（b+a）2，ab三个代数式之间的等量关系　 ； 应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝9，xy＝，求x﹣y的值． 二、数字规律探索 6．现有一列数，，，…，，，，其中，，，且满足任意相邻三个数的和为定值，则的值为 . 7．一列数：，，，，，其中，，且当时，，用含的式子表示的结果是 ． 8．设，，，…；另设，，，…．已知是一个关于的三次多项式（为正整数），可表示为，则 ． 9．为了求 的值，可令，则，因此，所以. 请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 10．观察下列各等式： 第1个：； 第2个：； 第3个： …… （1）这