第8章 第7讲 抛物线-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 ∵ Ｐ 是双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)右支上 的一点ꎬ ∴ ｜ＰＦ１ ｜ － ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ２ａꎬ ∵ △ＰＦ１Ｆ２ 的周长为 ４ａ ＋ ２ ａ２ ＋ ｂ２ ꎬ ∴ ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜ ＋ ２ｃ ＝ ４ａ ＋ ２ｃꎬ∴ ｜ ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ ＰＦ２ ｜ ＝ ４ａꎬ ∴ ｜ＰＦ１ ｜ － ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ２ａ < ｜Ｆ２Ｆ２ ｜ ＝ ２ｃꎬ ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ４ａ > ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ２ｃꎬ { ∴ ａ < ｃ ｃ < ２ａ{ ꎬ∴ １ < ｅ < ２ꎬ ∴ 双曲线 Ｃ 的离心率的取值范围为(１ꎬ２).故选 Ａ. (６)由题意知 ＡＢ:ｘ ＝ ３３ ｙ ＋ ｃꎬ 由 ｘ ＝ ３３ ｙ ＋ ｃ ｂ２ｘ２ － ａ２ｙ２ － ａ２ｂ２ ＝ ０ ì î í ïï ï 得(ｂ２ － ３ａ２) ｙ２ ＋ ２ ３ ｂ２ｃｙ ＋ ３ｂ４ ＝ ０ꎬ 设 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ 则 ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ２ ３ ｂ２ｃ ３ａ２ － ｂ２ ꎬ ｙ１ｙ２ ＝ － ３ｂ４ ３ａ２ － ｂ２ ꎬ ì î í ï ï ï ï 又 ｙ１ ＝ － λｙ２ꎬ ∴ (１ － λ)ｙ２ ＝ ２ ３ ｂ２ｃ ３ａ２ － ｂ２ ꎬλｙ２２ ＝ ３ｂ４ ３ａ２ － ｂ２ . ∴ λ ＋ １λ － ２ ＝ ４ｃ２ ３ａ２ － ｂ２ ꎬ又 λ≥５ꎬ ∴ ｃ ２ ３ａ２ － ｂ２ ≥４５ ꎬ∴ ３ａ２ － ｂ２ > ０ꎬ ５ｃ２≥１２ａ２ － ４ｂ２ .{ 即 ４ａ２ > ｃ２ꎬ １６ａ２≤９ｃ２ꎬ{ 解得 ４ ３ ≤ｅ < ２ꎬ故选 Ｄ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 求离心率的取值范围需构造 ａ、ｂ、ｃ 间的不等关 系ꎬ一般从以下几方面入手:①曲线的范围ꎻ②构造方 程ꎬ借助判别式ꎻ③数形结合. 〔变式训练 ５〕 (１)(２０１９􀅰全国卷Ⅱꎬ１２)设 Ｆ 为双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的右焦点ꎬＯ 为坐标原点ꎬ以 ＯＦ 为 直径的圆与圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ａ２ 交于 ＰꎬＱ 两点. 若 ｜ ＰＱ ｜ ＝ ｜ＯＦ ｜ ꎬ则 Ｃ 的离心率为 ( 　 ) Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ. ２ Ｄ. ５ (２)(２０２２􀅰陕西咸阳模拟)已知双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １ (ａ > ０ꎬｂ > ０)的左焦点为 Ｆꎬ过 Ｆ 且与双曲线 Ｃ 的 一条渐近线垂直的直线 ｌ 与另一条渐近线交于点 Ｐꎬ交 ｙ 轴于点 Ａꎬ若 Ａ 为 ＰＦ 的中点ꎬ则双曲线 Ｃ 的离心率为　 　 　 　 . (３)(２０２２􀅰全国甲卷)记双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬ ｂ > ０)的离心率为 ｅꎬ写出满足条件“直线 ｙ ＝ ２ｘ 与 Ｃ 无公共点”的 ｅ 的一个值　 　 　 　 . (４)(２０２３􀅰广西北海模拟)如图ꎬ已知双曲线 Ｍ:ｘ ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的左ꎬ右焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬ正 六边形 ＡＢＦ２ＣＤＦ１ 的一边 ＡＦ１ 的中点恰好在双曲 线 Ｍ 上ꎬ则双曲线 Ｍ 的离心率是　 　 　 　 . 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[４９] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第七讲　 抛物线 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 抛物线的定义 平面内　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 的点的轨迹叫抛物线. 点　 　 　 　 叫抛物线的　 　 　 　 ꎬ直线　 　 　 　 叫抛物线的　 　 　 　 . 注:ｌ 经过 Ｆ 时ꎬ与定点 Ｆ 和定直线 ｌ 距离相等的 点的轨迹为过 Ａ 与 ｌ 垂直的一条直线. 知识点二　 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 ｙ２ ＝ ２ｐｘ (ｐ > ０) ｙ２ ＝ － ２ｐｘ (ｐ > ０) ｘ２ ＝ ２ｐｙ (ｐ > ０) ｘ２ ＝ － ２ｐｙ (ｐ > ０) ｐ 的几何意义:焦点 Ｆ 到准线 ｌ 的距离 图形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋