专题3.3 抛物线（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.3 抛物线 【考点1：抛物线的定义】 1 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 2 【考点3：抛物线的焦点弦】 5 【考点4：抛物线的实际应用】 8 【考点1：抛物线的定义】 【知识点：抛物线的定义】 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． [方法技巧] 利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．　　 1．（2023秋·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) （2）抛物线实质上就是双曲线的一支．( ) （3）若抛物线的方程为，则焦点到准线的距离.( ) （4）抛物线的焦点在x轴的正半轴．( ) 2．（2023秋·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）直线与抛物线相交，则有2个公共点.( ) （2）到点的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹不是抛物线.( ) （3）到的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹是抛物线.( ) （4）点在抛物线上，则的中点的轨迹是抛物线.( ) 3．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 5．（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系中，已知直线（），定点与定直线，过P向直线作垂线，垂足为H．，若动点P的轨迹为曲线C，且直线与曲线C相切，则 ． 7．（2023·江西九江·统考一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 【知识点：抛物线的标准方程与性质】 图形 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ [方法技巧] 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程． ②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一 分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解 法二 设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程 1．（2023·新疆·统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知抛物线，直线与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　） A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 5．（多