13.3 等腰三角形（讲+练，10题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

13.3 等腰三角形 一、等腰三角形 1、概念：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2、性质 性质1、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 性质2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） 二、等边三角形 1、概念：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形。 2、性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 3、判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 等腰三角形的概念 【例1】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（         ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是 ． 【变式1-3】已知等腰三角形的一个外角是，则其底角的度数为 ． 【变式1-4】小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米． （1）请用a的代数式表示第三条边长； （2）第一条边长可以为7米吗？为什么？ （3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值． 题型二 等腰三角形的性质 【例2】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是(    )    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点E，，，则的面积是（    ）    A． B． C．8 D．6 【变式2-2】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 【变式2-3】已知：如图所示，，交于点．求证：．    【变式2-4】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：      （1）； （2）． 题型三 等腰三角形的判定 【例3】如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（       ）    A．1 B．5 C．9 D．10 【变式3-1】如图，在中，，则 ． 【变式3-2】如图，点，都在的边上，，和的平分线分别交于点，若，则 ．    【变式3-3】如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【变式3-4】在中，是的中点，，，垂足分别为、，且．求证：是等腰三角形．    题型四 等腰三角形的性质与判定 【例4】如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，下列四个结论：①；②点D在的垂直平分线上；③图中共有5个等腰三角形；④；其中正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-1】如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④．    A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式4-2】如图，，，，则的面积为 ．    【变式4-3】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，，且． 若，求的度数．    【变式4-4】如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形．    题型五 画出等腰三角形 【例5】仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可． （1）在图1中，标出格点P，连结，使平分． （2）在图2中，标出格点Q，连结，使． 【变式5-1】如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为高的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）    【变式5-2】已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a． 【变式5-3】如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为 （1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； （2）在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边． 【变式5-4】如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是1， 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出关于y轴对称的． （2）画出以为腰的等腰三角形，连接，，使的面积为3． 题型六 三角形边角的不等关系 【例6】如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 【变式6-1】如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上