2.5.2 圆与圆的位置关系（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.2 圆与圆的位置关系（教学设计） 1、 课时教学内容 圆与圆的位置关系 2、 课时教学目标 1.结合具体实例，并类比直线与圆的位置关系的研究思路和方法，能用坐标法法和几何法研究圆与圆的位置关系，发展学生类比能力. 2.通过对具体实例的分析研究，能体会坐标法在研究平面几何问题（如轨迹问题）的优越性，发展学生数形结合和数学建模的核心素养. 3、 教学重点、难点 重点：圆与圆的位置关系及判定方法 难点：掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 问题1 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。 日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 师生活动：学生回顾已学，得到两圆位置关系，相离，外切，相交，内切，内含. 设计意图：通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系. 环节二 观察分析，感知概念 问题2 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？ 师生活动： （1）学生回顾初中所学圆与圆的位置关系的判定方法，类比直线与圆的位置关系的判定方法，自主归纳圆与圆的位置关系的判定方法. （2）教师巡视全班并展示部分学生的做法： 1.几何法: 圆 , 圆 , 两圆的圆心距 , 则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1， r2的关系 2.代数法:圆 , 圆 , 两圆的方程联立得方程组,则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 设计意图：类比直线与圆的位置关系的研究圆与圆的位置关系. 环节三 抽象概括，形成概念 思考 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？ 环节四 辨析理解 深化概念 例5 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 分析：思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定； 思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系． 解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组 ，得 ③ 画出圆与圆以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？ 由③，得 ． 把上式代入①，并整理，得 ④ 方程④的根的判别式 ， 所以，方程④有两个不相等的实数根，． 把，分别代入方程③，得到，． 因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交． 本题只要判断圆与圆是否有公共点，并不需要求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根． 解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径． 把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径，圆与圆的连心线的长为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即，所以圆与圆相交（图2.5-6），它们有两个公共点，． 师生活动： 　　学生独立解答，教师巡视全班，展示坐标法和几何法两种不同解法，并请学生对解答过程进行分析与解读. 追问 在坐标法中联立两圆方程后得到说明了什么？能据此判定两圆位置关系吗？呢？ 设计意图：通过典例解析，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断圆与圆的位置关系。同时在解答中引导学生由形助数，由数研形，发展学生数形结合能力及数学运算素养. 思考 在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么? 你能据此确定两圆是内切还是外切吗? 如何判断两圆是内切还是外切呢? 当时，两圆是什么位置关系? 环节五 概念应用，巩固内化 例6 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系． 分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系． 师生活动： 给出题目后，教师可以通过以下问题引导学生思考： （1）如何建立平面直角坐标系？有哪些几何对象需要用坐标表示？ （2）问题中的几何对象之间有哪些关系，如何用坐标进行表示？ （3）说说你对动点M的轨迹及轨迹方程的理解？ 解：如图 2. 5-7， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．由，得，． 设点的坐标为，由，得， 化简，得，即． 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图 2.5-7)． 因为两圆的圆心距为，两圆的半