正、余弦定理的应用与综合（第24讲）导学案-2024届高三数学一轮复习

丰城厚一学校导学案（内部资料，注意保存） 高三年级数学 A 组导学案 24 本学案共 4 页，第 页1 高 三 年级 数学 学科（A）导学案 主备 葛育超 班级 小组 学生姓名 第 24 讲：正、余弦定理的应用与综合 2 【学习目标】： 1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；再次去对于测量距离、高度、角度的问题的巩固。 3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关角度的实际问题。 【重点难点】： 重点：用正、余弦定理测量距离、高度、角度问题 难点：用正、余弦定理测量距离、高度、角度问题 【学习流程】 ◎知识点回顾： ◎考点探究 [2022 西南大学附属中学高二上开学考试]如图,A,B,C 为山脚两侧共线的三点, 在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为α=30°,β=45°,γ=30°.现计划沿直线 AC 开通 一条穿山隧道 DE,经测量 AD=100 m,BE=33 m,BC=100 m,则 PB= m,DE= m.(精 确到 1 m,附: 2≈1.414, 3≈1.732.) {#{QQABDQgQogiAABIAAAgCQQUwCEOQkAGAAIoGgEAAIAIBQBFABAA=}#}B i44gAwkBY CY5L UF0CUqQkJ AL oGRVAFK 4pAZ F 丰城厚一学校导学案（内部资料，注意保存） 高三年级数学 A 组导学案 24 本学案共 4 页，第 页2 距离问题的类型及解法 (1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都 不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角 形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 1. (2023·河北廊坊模拟)如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐 长安城明德门遗址东约 950 米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建 于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早 1000 多年，是隋唐王朝近三百年里的皇 家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得 AB＝60 米， BC＝60 米，CD＝40 米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛最下面 一层的直径 AD 大约为(结果精确到 1 米)(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 5≈2.236， 7≈2.646)( ) A．39 米 B．43 米 C．49 米 D．53 米 如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点测得建筑物顶端的 仰角分别为 30°,45°,且 A,B 两点间的距离为 60 m,则该建筑物的高度为( ) A.(30+30 3)m B.(30+15 3)m C.(15+30 3)m D.(15+15 3)m (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂 {#{QQABDQgQogiAABIAAAgCQQUwCEOQkAGAAIoGgEAAIAIBQBFABAA=}#}B i44gAwkBY CY5L UF0CUqQkJ AL oGRVAFK 4pAZ F 丰城厚一学校导学案（内部资料，注意保存） 高三年级数学 A 组导学案 24 本学案共 4 页，第 页3 面内，视线与水平线的夹角． (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图． (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注 意方程思想的运用． [2022河北保定高一期末]一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30海里, 如图所示.随后该船以20海里/时的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,测得 灯塔 C在其北偏东 25°方向,则 sin∠ACB= ( ) A. 2 3 sin 70° B.2 3 sin 75° C.3 2 cos 70° D. 3 3 ◎展示提升： 1.[2022江西南昌高一下期中]如图,在离地面h m的热气球M上,观察到山顶C处的仰角 为θ,在山脚A处观察到山顶C处的仰角为60°,且热气球M在地面上的射影D在A左侧. 若 A到热气球的距离 AM=400 2 m,山的高度 BC=600 m,∠ACM=45°,则θ=( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 2.[2022 江苏扬州高邮高一下期中]如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机 的高度为海拔 19 km,速度为 300 km/h,飞行员先在 A处看到山顶 C处的俯角为 45°,经 过 2 min 后,又在 B 处看到山顶 C 处的俯角为 75°,则山的海拔约为(结果精确到 0.1, 参考数据: 3≈1.732)( ) A.4.3 km B.5.3 km C.6.3 km D.13.7 km ◎达标检测 {#{QQABDQgQogiAABIAAAgCQQUwCEOQkAG