正、余弦定理的应用与综合（第23讲）导学案-2024届高三数学一轮复习

丰城厚一学校导学案（内部资料，注意保存） 高 三 年级 数学 学科（A）导学案 主备 葛育超 班级 小组 学生姓名 第23讲：正、余弦定理的应用与综合1 【学习目标】： 1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 2.了解常用的测量相关术语； 3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关角度的实际问题。 【重点难点】： 重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解； 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。 【学习流程】 ◎知识点回顾： 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ ◎考点探究 考点一　测量距离问题 　一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B，并测得AB＝a，选取对岸一目标点C，并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝＝，如图所示，过点C向AB作垂线交AB于D，所以该段河流的宽度CD＝ACsin∠BAC＝. 　　距离问题的类型及解法 (1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 考点二　测量高度问题 　(1)(2023·黑龙江哈师大附中模拟)如图，从高为h的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是α，桥头(C)的俯角是β，则桥BC的长为(　　) A．h B．h C．h D．h 答案　A 解析　如图所示，由题意，得∠ACD＝β，AD＝h，∠ABD＝α，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，即tanβ＝，整理，得CD＝，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，即tanα＝，整理，得BD＝，则BC＝CD－BD＝－＝h＝h＝h. 考点三　测量角度问题 　位于灯塔A处正西方向相距(5－5) n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距5 n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(　　) A．30° B．60° C．75° D．45° 答案　B 解析　依题意，过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图，则AB＝5－5，AC＝5，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AD＝DC＝5，在Rt△BDC中，BD＝5，DC＝5，所以tan∠BCD＝＝，又0°＜∠BCD＜90°，所以∠BCD＝60°，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西60°. ◎展示提升 1、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________． A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m 【答案】：D 【解析】：由正弦定理得，则AB＝50(m)． 2. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝(　　) A． B．－2 C．－1 D．－1 答案　C 解析　由题意知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.在△ABC中，由正弦定理，得＝，又AB＝100 m，所以AC＝100 m．在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，由正弦定理，得＝，所以cosθ＝sin(θ＋90°)＝＝－1. ◎达标检测 1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东5°　　　　 B．北偏西10° C．南偏东5° D．南偏