第一次月考B卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程）-学易金卷：2023-2024学年高二数学上学期第一次月考

2023-2024学年高二数学上学期第一次月考 B卷·重点难点过关测 全解全析 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在四面体中，，点在棱上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算可得答案. 【详解】点在线段上，且，为中点， ，， ．    故选：B． 2．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示：      依题意，， 要想直线l过点且与线段AB相交， 则或， 故选：A 3．若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果. 【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，故a的取值范围是. 故选：D 4．如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ） A．－ B． C．－ D． 【答案】B 【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可； 法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可. 【详解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N，. 解法一  取MN的中点G，连接BG，AG， 则G. 因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角． 又因为，， 所以，， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为. 解法二  设平面AMN的法向量 由于， ， 则，即， 令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是， 同理可求得平面BMN的一个法向量 . 所以 ， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为. 故选：B. 5．过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（      ） A．4条 B．2条 C．3条 D．1条 【答案】C 【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案. 【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得， 故方程为； 当截距不为0时， ①截距相等时，设方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； ②截距互为相反数时，设直线方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； 一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条. 故选：C 6．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解. 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 7．正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】解：因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点，连接， 如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为M是棱上一动点，设，且，所以，则， 因为，所以在直角三角形中可得：，所以， 即，于是令， 所以，，又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段MN长度的最小值为. 故选：B. 8．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值. 【详解】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外， 设，其中且， 直线的方程为，纵截距为， 直线的方程为，纵截距为， 依题意有，整理得， 所以在圆上，圆心为，半径为. 则圆与圆有且只有一个公共点， 则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，