1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量的应用（空间位置关系） 知识讲解 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 2．空间中平行关系的向量表示 线线平行证明：设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行证明：设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行证明：设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 3．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 4．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直证明：设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直证明：设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面垂直证明：设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 题型专项练习 题型一：平面法向量 1．若两个向量,则平面的一个法向量为 A． B． C． D． 2．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（    ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 题型二：空间位置关系的判定 1．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（    ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 2．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若// ，则的值是（    ） A． B．-6 C．6 D． 3．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 4．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. (1)写出点，的坐标； (2)求证：. 5．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2，AB=1，E为AD中点，F为CC1中点. （1）求证：AD⊥D1F； （2）求证：CE//平面AD1F； （ 21．如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； $$