3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（第2课时 距离问题）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（第二课时距离问题） 温故知新 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 温故知新 研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用. 广东省阳江市第一中学周如钢 某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计? 新课引入 (1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则 一、两点间的距离问题 例1 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解：如图1， 所以 答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 倍。 练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上 有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6， BD＝8，求CD的长. B A C D 解1 练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上 有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6， BD＝8，求CD的长. B A C D 解2 立体几何法 P 如图3-51,设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点,n0是平面α的单位法向量. 过点P作PP'丄平面α,垂足为点P',则线段PP'的长度就是点P到平面α的距离，而∥n0,所以向量在法向量n0方 向上的投影向量的长度|·n0|就等于线段PP'的长度. 图3-51 二.点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即 d=|·n0|. (2) 点P与直线l的距离为d , 则 点到直线的距离 例2 如图3-52,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'. ⑴ 求证:是平面A'BD的一个法向量； (2)求点C'到平面A'BD的距离. (1)证明 依据题意有A'(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0), C'(1,1,1). 因为=(1,1,1),=(1,0, -1),=(0,1,-1), 所以 • = ( 1,1,1) • (1,0,-1)=0, • = ( 1,1,1) • (0,1,-1)=0. 从而 ⊥ , ⊥ . 例2 如图3-52,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'. ⑴ 求证:是平面A'BD的一个法向量； (2)求点C'到平面A'BD的距离. 又 A'B,A'D⊂平面 A'BD ,A'B∩A'D=A', 所以丄平面A'BD,即是平面A'BD的一个法向量. （2）解 因为 =(0,1,1),所以点C'到平面A'BD的距离为 |·|==. 变式 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离. 点E到直线A1B的距离为 变式 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离. 解2 立体几何法 面积法 P 三。点到平面的距离 点P与平面α的距离为d , 则 d d 例 3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离. 例 3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离. 等体积法 解2 例4 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离. 解1:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离. 仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为 三、线到平面的距离 例