2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.11　函数的零点与方程的解

§2.11　函数的零点与方程的解 考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解． 知识梳理 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 常用结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　×　) (4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(　√　) 教材改编题 1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 答案　A 解析　由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点． 2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　) A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 答案　B 解析　因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减， 所以函数y＝－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数， 又当x＝2时，y＝－ln 2>0； 当x＝3时，y＝1－ln 3<0， 两函数值异号， 所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2,3)． 3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点． 题型一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 答案　B 解析　由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增， f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0， 则f(2)f(3)<0， ∴零点在区间(2,3)上． 延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　∵开区间(2,3)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有≤0.1，解得n≥4， ∴至少需要操作4次． (2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 答案　A 解析　设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增， f(－1)＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x1<0. 设函数g(x)＝x＋log2x， 易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1， 即gg(1)<0， 由函数零点存在定理可知，<x2<1， 设函数h(x)＝x－log2x， 易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0， 因为h(1)>h(x3)， 由函数单调性可知，x3>1， 即－1<x1<0<x2<1<x3. 思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间