2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.9　指、对、幂的大小比较[培优课]

§2.9　指、对、幂的大小比较 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 答案　C 解析　因为函数y＝x是增函数， 所以<，即a<b， 又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以<， 所以b<c，故c>b>a. 命题点2　找中间值 例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 答案　C 解析　因为1＝log55>log53>log5＝log5＝， 即<a<1， b＝>20＝1,7－0.5＝<＝， 即0<c<，所以b>a>c. 命题点3　特殊值法 例3　已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案　C 解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝， 则ac＝，bc＝， ∴ac>bc，故A错误； abc＝4×＝，bac＝2×＝， ∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． 思维升华　利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增， 所以1.60.6>0.60.6>0， 又b＝lg 0.6<lg 1＝0， 所以c>a>b. (2)已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b 答案　A 解析　因为a＝＝log3，＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log3>log34，即a>b. 又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1， 即b>c，所以a>b>c. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 例4　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　c＝>＝1， a＝＝＝，b＝＝， 因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<， 所以a<b， 又<0＝1，即b<1， 所以a<b<c. (2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　∵log53－log85＝log53－＝ <＝ <＝0， ∴log53<log85. ∵55<84，134<85， ∴5log85<4，4<5log138， ∴log85<log138， ∴log53<log85<log138，即a<b<c. 思维升华　求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况． 跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案　B 解析　c＝930＝360， a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c. (2