2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.7　指数与指数函数

§2.7　指数与指数函数 考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 知识梳理 1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)＝－4.(　×　) (2)2a·2b＝2ab.(　×　) (3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　×　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) 教材改编题 1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A．不确定 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 2．计算：＝________. 答案　1 解析　原式＝＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1. 3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________. 答案　2或 解析　若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝. 题型一　指数幂的运算 例1　计算： (1)(－1.8)0＋－2·－＋； (2)(a>0，b>0)． 解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋ ＝1＋ ＝1＋2·2－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19. (2) ＝ ＝2××8＝. 思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 跟踪训练1　计算： (1) ； (2). 解　(1)因为有意义，所以a>0， 所以原式＝＝÷＝a÷a＝1. (2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89. 题型二　指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　) A．a<b B．若a<0，则b<a<0 C．|a|<|b| D．若0<a<log32，则ab<ba 答案　BCD 解析　如图， 由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确； D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确． (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 答案　(0,2) 解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴b的取值范围是(0,2)． 思维升华　对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 答案　BD 解析　由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减， ∴