2.3.2两点间的距离公式教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.2 两点间的距离公式 一、教学内容及其解析 1.内容：两点间的距离公式. 2.内容解析： 内容的本质：本节课节选自人教社普通高中教科书《数学》（A版）选择性必修第一册第二章2.3.2两点间的距离公式，距离问题是欧氏几何的基本问题之一，欧式几何中把两点间线段的长度定义为距离，两点间的距离公式是平面解析几何中刻画距离的基本公式，它在平面解析几何的学习中具有基础的地位，是几何图形代数化的起点和重要工具，点到直线的距离公式的获得，圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的建立等都是以此为基础的. 本节内容是在直角坐标系下，利用代数方法解决平面几何问题的初步基础，是沟通“数”与“形”、建立解析几何理论的基础，两点间的距离公式是解析法巨大作用的初步体现.课本上首先用向量方法得出平面上两点间的距离公式，之后设置问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解推导两点间距离公式的不同方法，并且能够评价对不同方法的体会.运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想，帮助学生体会建系的方法不是唯一的，但计算结果都是一致的，在解决问题时选择最方便的建系方法即可.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养，通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式，并通过练习学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力. 蕴含的数学思想和方法：本节内容的探究、应用等过程，渗透了数形结合、分类讨论等数学基本思想方法，对发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养起着重要的推动作用. 知识的上下位关系： 教学重点：两点间的距离公式. 二、学情分析 学生已经学习过平面向量及其运算的坐标表示，拥有利用向量解决问题的能力，因此可引导学生利用向量的模得到两点间的距离公式.此外，学生对勾股定理十分熟悉，可引导学生建立平面直角坐标系，构造直角三角形，用代数方法解决平面几何问题，体会数形结合思想的应用.在用勾股定理推导的过程中，学生容易忽略分类讨论，因此需要在教学过程中进行引导.此外，在坐标法的教学中，通过问题引导学生体会在用坐标法解决问题时，建系的方法不是唯一的，不同的坐标系下的计算结果是相同的，因此在具体问题中要选择参数尽量少的建系方法以方便计算. 三、教学目标及其解析 1.目标 1.经历两点间距离公式的推导过程，体会向量法和坐标法的运用，深入理解两点间的距离公式，提高逻辑推理，数学运算素养. 2.通过用坐标法将几何问题代数化，明确建系的本质，体会数形结合的思想方法，提高逻辑推理，直观想象素养. 2.目标解析 达成上述目标的标志： （1）学生能自己推导两点间的距离公式并解决简单的问题. （2）学生能建立合适的直角坐标系，解决平面几何问题. 四、教学重点与难点 1.教学重点：平面上两点间距离公式的推导过程及应用. 2.教学难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题. 五、教学过程 引导语：我们知道，在各种几何量中，线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式. 【环节一】提出问题，探究公式 【问题1】如图1，已知平面内两点，如何求间的距离？（学生思考回答,展示时自己作图） 【预设】方法一：向量法——模长公式 在学习向量及其运算的坐标表示时，定义有向线段,利用平面向量的模长公式求的长度，向量的坐标表示等于此有向线段的终点坐标减去起点坐标，即.求平面向量数量积运算的坐标表示得:，图1 因此，两点间的距离为. 方法二：几何法——勾股定理 学习平面几何时，我们往往通过构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度.基于点坐标的意义，构造恰当的直角三角形来推导两点间的距离公式. （1）若直线平行于x轴，则； 若直线平行于y轴，则. （2）若直线在x轴上，则；图2 若直线在y轴上，则. （3）若直线不与坐标轴平行(垂直)，选择与坐标轴平行（或垂直）的直线构造直角三角形，添加辅助线，容易将线段的长度用坐标表示.图3 点的坐标为， ,. 则. 用勾股定理推导两点间距离公式需要分情况讨论，三种情况下的公式是一致的. 【追问1】原点与任一点间的距离是？ 【预设】 【追问2】此公式与两点的先后顺序有关吗？ 【预设】此公式与两点的先后顺序无关. 【追问3】能否用文字语言表述两点间的距离公式？ 【预设】两点间的距离等于这两点横纵坐标差的平方和的算术平方根. 设计意图：提出问题让学生自由思考解决，让课堂更有活力. 学生已经学过向量及其运算的坐标表示，这里已知了两点的坐标，联系向量知识不难得出两点间的距离公式. 几何法中对于一般的情形，学生容易想到构造直角三角形利用勾股定理解决问题，然而可能忽略点平行