2.3.2两点间的距离公式课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.2 两点间的距离公式 1 学习目标 1.经历两点间距离公式的推导过程,体会向量法和坐标法的运用,深入理解两点间的距离公式,提高逻辑推理,数学运算素养. 2.通过用坐标法将几何问题代数化,明确建系的本质,体会数形结合的思想方法,提高逻辑推理,直观想象素养. 提出问题,探究公式 【问题1】如图1,已知平面内两点,如何求 间的距离? 方法一:向量法——模长公式 图1 【概念的形成】 提出问题,探究公式 【概念的形成】 方法二:几何法——勾股定理 (1)若直线平行于x轴,则; 若直线平行于y轴,则. (2)若直线在x轴上,则; 若直线在y轴上,则. (3)若直线不与坐标轴平行(垂直). ,. 则. 【问题1】如图1,已知平面内两点,如何求 间的距离? 提出问题,探究公式 【概念的形成】 【追问1】原点与任一点间的距离是? 【追问2】此公式与两点的先后顺序有关吗? 无关 【追问3】能否用文字语言表述两点间的距离公式? 两点间的距离等于这两点横纵坐标差的平方和的算术平方根. 应用公式,解决问题 例1:已知点,在x轴上求一点,使并求出的值. 【概念的理解】 方法一:由题可知,到点和点距离相等的动点的轨迹满足, 设点,则, 由已知建立点的轨迹方程,化解得: 则动点与x轴交点的坐标即为点, 所以所求点为,且. 应用公式,解决问题 【概念的理解】 【追问】由能想到什么? 方法二:由知点在线段的中垂线上. 由知,线段的中点 直线的斜率为 , 其垂直平分线的斜率为 . 则中垂线方程为 . 由点在x轴上,令,解得. 所以所求点为,且. 应用公式,解决问题 例2:用坐标法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 【追问1】平行四边形的4个点是否需要设出8个不同的参数呢?如何建立平面直角坐标系使得未知量尽量少且不失一般性呢? 【追问2】建立直角坐标系解决问题,比较不同建系方法的优劣. 设,,则根据平行四边形的性质,可得. ,,,. 所以,=, . 所以,. 建立坐标系的方法很多,但在不同坐标系下的计算结果是相同的. 应用公式,解决问题 【追问3】你能概括用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤吗? 1.建立坐标系,用图形点的坐标表示有关的量; 2.进行相关代数运算; 3.把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 【追问4】我们曾用向量法证明过这个结论,你能回忆一下证明过程吗? 1.取为基底; 2.用表示两条对角线向量,计算所求量间的关系; 3.代数结果“翻译”成几何结论. 应用公式,解决问题 例3:已知点,,点是x轴上的动点. (1)求的最小值,并求出此时点的坐标. (2)点的最大值,并求出此时点的坐标. (1)点关于x轴的对称点为点, . 则. 直线的方程为 ,即 因为点在x轴上,所以时,点的横坐标为,故 应用公式,解决问题 (2)的最大值即为,此时点为直线 与x轴的交点. 例3:已知点,,点是x轴上的动点. (1)求的最小值,并求出此时点的坐标. (2)点的最大值,并求出此时点的坐标. 直线AB的方程为, 即,则点. 回顾过程,小结提升 【问题2】你能快速准确地说出两点间的距离公式吗? 【问题3】本节课我们初步学习了用“坐标法”证明简单的平面几何问题,“坐标法”的基本步骤是什么?如何恰当建立坐标系能使计算简化? $$