1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2空间向量研究距离、夹角问题 专题一：夹角问题 知识点一：异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 知识点二：直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则 ①； ②. 知识点三：平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 题型分类练习 题型一：异面直线夹角 1．如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 题型二：线面夹角、二面角 1．如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1． (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值； 2．如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. (1)求证：⊥平面； (2)求二面角余弦值的大小； 3．如图，平面ABCD，，，，，. (1)求证：平面ADE； (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； (3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 专题二：距离问题 知识点一：点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 知识点二：点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 题型分类练习 题型一：点到直线的距离 1．已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（    ）． A． B．1 C． D． 2．已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 . 4．在空间直角坐标系中，已知三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（3，1，0），则点C到直线AB的距离为 . 题型二：点到平面的距离 1．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 . 2．如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，.    (1)证明：平面平面； (2)求到平面距离； 3．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离． 4．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角大小； (3)求点到平面的距离. $$