2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.2　函数的单调性与最值

§2.2　函数的单调性与最值 考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．(　×　) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　×　) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) 教材改编题 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝x2－1 B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝－x＋2 答案　D 2．y＝在[3,4]上的最大值为(　　) A．2 B. C. D．4 答案　A 解析　y＝＝＝＋1， ∵y＝＋1在[3,4]上单调递减， ∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2. 3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________． 答案　 解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， ∴2x－1≥0，即x≥， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， ∴2x－1<，即x<， 则x的取值范围为. 题型一　确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝ 答案　AC 解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 对于选项C，y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确． 命题点2　利用定义证明函数的单调性 例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 解　方法一　设－1<x1<x2<1， f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 方法二　f′(x)＝＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 思维升华　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 答案　B 解析　g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. (2)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)