2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.5　一元二次方程、不等式

§1.5　一元二次方程、不等式 考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 知识梳理 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 2．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　) (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　) 教材改编题 1．不等式<0的解集为(　　) A．∅ B．(2,3) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案　B 解析　<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3. 2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　B 解析　因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)， 所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根， 所以k＋m＝2. 3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　[1,3] 解析　∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3. 题型一　一元二次不等式的解法 命题点1　不含参数的不等式 例1　(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　) A. B. C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 答案　D 解析　原不等式等价于 即x<且x≠0，故选D. (2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ 答案　ABD 解析　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确； 且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确． 命题点2　含参数的一元二次不等式 例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8. (1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值； (2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集． 解　(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0， 可化为(ax＋2)(x－4)<0. 因为f(x)<0的解集是， 所以a>0且－＝－， 解得a＝3. (2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0， 因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0， 当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为； 当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为∅； 当4>－，即a<－时，原不等式的解集为. 综上所述， 当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当a<－时，原不等式的解集为. 思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1　解关于x的不等式． (1)>1； (2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3. 解　(1)移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0， 即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－. 所以不等式的解集为. (2)移项得mx2－(m