2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.4　基本不等式

§1.4　基本不等式 考试要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 知识梳理 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立． (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)． (2)＋≥ (a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)≥ (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　 　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　 　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　 　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　 　) 教材改编题 1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 2．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． 3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 题型一　利用基本不等式求最值 命题点1　配凑法 例1　(1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2 B．2＋2 C．2 D.＋2 (2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2　常数代换法 例2　已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A．16 B．8＋4 C．12 D．6＋4 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3　消元法 例3　(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 延伸探究　本例条件不变，求xy的最大值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 跟踪训练1　(1)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是(　　) A．ab有最小值 B．8＋8有最大值8 C.＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值 (2)已知x>1，则y＝的最大值为________． 题型二　基本不等式的常见变形应用 例4　(1)若0<a<b，则下列不等