27.2.1 相似三角形的判定（3） 　课件 2022-2023学年人教版九年级数学下册

27.2.1相似三角形的判定(3) 我们学习了哪些判定三角形相似的方法 知识回顾 问题引入： 观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ C A A' B B' C' ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 用数学符号表示： 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 A B C A’ B’ C’ 基础演练 1、下列图形中两个三角形是否相似？ A B C D E A B C A’ C’ B’ A B C D E (1) (2) (3) (4) 2、判断题： ⑴ 所有的直角三角形都相似 . （ ） ⑵ 所有的等边三角形都相似. （ ） ⑶ 所有的等腰直角三角形都相似. （ ） ⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ） × √ √ × 顶角相等 底角相等 顶角与底角相等 基础演练 B C A A' B' C' 第一种情况 ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 顶角相等 B C A A' B' C' 第二种情况 ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 底角相等 第三种情况 A B C A' B' C' 两三角形不相似 顶角与底角相等 探究4 已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 求证：△ABC∽△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 思考：对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗? 证明: 由勾股定理，得 ∴Rt △ABC∽Rt △A'B'C'. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 知识要点 判定三角形相似的定理 H L A B C △ABC∽△A1B1C1. 即： 如果 那么 √ A1 B1 C1 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 A D B C 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， 此结论可以称为“射影定理”,今后可以直接使用. ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 求证： ΔABC ΔACD ∽ ΔCBD 。 ∽ 求证（2）AC2=AD · AB BC²=BD·AB CD2=AD · DB 格式：∵∠ACB=90°，CD⊥AB 由射影定理得 ∴CD²=AD·BD D B C A 如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= 18 4 √2 　　 12√2　　　　 例2.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA， 求证：∠E=∠C E D B C A A B C E D 将△DAE绕A点旋转 如何证明∠DEA＝∠C？ E A B D C 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4 3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 ， AC=8，求AB A B C D A B C D E A B C D E 2 1 O C B A D 常见 图形 O C D A B A B C D E C D P B A O 补充：已知: ⊙O的弦AB、CD相交于点P. 求证: PA · PB = PC · PD 相交弦定理 :圆内的两条相交弦,被交点分 成的两条线段长的积相等. P A B D