专题4.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题4.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型） 【题型1：8字型】 【题型2：反8字型】 【题型3：平行类A字型】 【题型4：不平行A字型】 【题型5：直角三角形中射影定理】 【题型6：非直角三角形中射影定理】 【题型1：8字型】 【基本模型】 【典例1】（2023春•连平县期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）证明：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝AC，CE＝6，CF＝8，求DB的长． 【变式1-1】（2023•路桥区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且AE：EB＝1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF＝3，则S△ACD为（　　） A．9 B．12 C．27 D．36 【变式1-2】（2023•大兴区一模）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，连接CE交对角线BD于点F．若BD＝10，则DF的长为 　　． 【变式1-3】（2023•海淀区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，，则AF的长为 　　． 【变式1-4】（2022秋•南开区校级期末）如图，在▱ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，F． （1）求证：△ABE∽△CGE； （2）若AF＝2FD，求的值． 【变式1-5】（2022秋•长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3． （1）若CE＝4，求AE的长； （2）若CD＝6，求AB的长； （3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积． 【变式1-6】（2022秋•覃塘区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，AE：EB＝2：3，DE交AC于点F． （1）求△AEF与△CDF周长之比； （2）如果△CDF的面积为20，△ADF的面积为8，求四边形BEFC的面积． 【题型2：反8字型】 【基本模型】 【典例2】（2023春•清城区期中）已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，且CA＝CB． （1）求证：∠CAD＝∠CBD； （2）如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数； （3）如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线．请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】（2023•巴南区开学）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝3：1，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春•东莞市期中）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式2-3】（2023春•滑县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝45°，∠A＝50°，则∠ADE的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．50° 【变式2-4】（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（　　） A．4 B．8 C． D． 【变式2-5】（2023•郁南县校级模拟）视力表对我们来说并不陌生，如图，现需制作标准视力表，要求测试距离l1＝5米，此时字母E的高度为b1米．由于场地有限，需要缩小测试距离为l2＝3米，修改后视力表字母E的高度为b2米，则b1与b2的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】（2023•锦江区校级模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比为 　　． ​ 【变式2-7】（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点F在CD边上，延长AD到点E，使得DE＝DF，连接CE． （1）求证：△ADF≌△CDE； （2）若延长AF与CE恰好相交于中点G，求DE的长． 【变式2-8】（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F． （1）求证：； （2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE． 【变式2-9】（2023•茂南区三模）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F． （1）求证：△AOB≌△DO