1.1.1 空间向量及其线性运算2 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 1.理解空间向量的有关概念. 2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差. 3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律. 4.理解向量共面的充要条件，并会运用判断两空间向量是否共面. 核心素养：数学运算、数学抽象、直观想象 学习目标 新课导入 导 在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。 类比 问题导学（5分钟） 阅读课本2-5页，并思考下列问题 1.空间向量及相关概念有哪些？ 2.空间向量的线性运算有哪些？ 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 . 空间向量的大小叫做向量的长度或模 . 空间向量的有关概念 2.空间向量的表示 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模. A B 1.空间向量 A B C O 特殊的空间向量 空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致． 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 加减运算 在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间向量的加法和减法运算与平面向量相同. (1)空间向量加法运算： 平行四边形法则： 三角形法则： 注：首尾顺次相接，起点指向终点 空间向量的线性运算 三角形法则推广 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量． 在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间向量的加法和减法运算与平面向量相同. （2）空间向量的减法运算： 注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 数乘运算 向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算. 空间向量的线性运算 【拓展提升】空间向量的线性运算 课本P5-2 E F 同起点的两个平面向量的和向量为平行四边形的对角线所在向量； 同起点的三个空间向量的和向量为平行六面体的体对角线所在向量. 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 探究：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？ 共线向量定理：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使. 向量共线定理   • • 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得. 直线的方向向量 如图1.1-8，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l . 如果直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α .平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 共面向量 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的 . 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ 可以发现，如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 .（共面向量定理） 问题7 对平面内任意两个不共线向量 a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 p 可以写成 ，其中 (x，y) 是唯一确定的有序实数对 . 对两个不共线的空间向量 a，b，如果，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，？ 问题 例题讲解 O A B C D E F G H 思路探究：欲证 四点共面，只需证明 共面.而由已知 共面，可以利用向量运算由 共面的表达式推得 共面的表达式. 例：如图，已知平行四边形 ，过平面 外一点 ， 作射线 ，在四条射线上分别取点 ,使