1.1.1空间向量及其线性运算1 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 学习目标： 1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论. 教学重点： 空间向量的线性运算和运算律. 教学难点： 共线向量定理及共面向量定理. 情景引入 这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.显然这些力不在同一个平面内.这就是我们今天要学习的空间向量. 起点 终点 空间向量的有关概念 新课讲授 （1）定义： 既有大小又有方向的量。 表示 几何表示法：有向线段 符号表示法： a ，b AB 长度（模） 空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致。 向量的大小，记作 回顾：平面向量的有关概念 知识要点2 （2）零向量： 规定：长度为0的向量叫做零向量，记作: （3）单位向量： 模为1的向量称为单位向量. 当有向线段的起点A与终点B重合时， （4）相反向量： 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量。 记作: （5）相等向量： 方向相同且模相等的向量称为相等向量 因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。 空间向量的有关概念 知识要点2 空间任意两个向量都是共面的 由于空间任意两个向量都可以转化为同一个平面内的向量，所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们. 思考 空间两条直线的可能存在怎样位置关系？ 空间两个向量是否可能异面？ a b a b O A B 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量 练习: 给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 ，则 ； （3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 C 问题1：平面向量的线性运算由哪些？我们如何研究这些运算的？ 空间向量的线性运算 平面向量的线性运算由加法、减法和数乘运算。我们先研究了它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。 问题2：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 1.加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 1.加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 2.数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。 ①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨 ②若λ＞0， λa与a方向相同； 若λ＜0， λa与a方向相反； 若λ=0， λa=0. 2.数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。 ①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨 ②若λ＞0， λa与a方向相同； 若λ＜0， λa与a方向相反； 若λ=0， λa=0. 问题3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得到空间向量线性运算的运算律吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 运算律： ①交换律：a+b=b+a ②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c λ (μa)=(λμ)a ③分配律：( λ +μ)a=λa+μa λ (a+b)=λa+λb 运算律： ①交换律：a+b=b+a ②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c λ (μa)=(λμ)a ③分配律：( λ +μ)a=λa+μa λ (a+b)=λa+λb 猜想 问题：如何证明空间向量加法结合律？ 在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，记=a，=b，=c 则a+(b+c)= +(+ )= + = (a+b)+c=(