1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系（一）导学案——2023-2024学年高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

高二年级数学■ 学科(A/B)导学案 主备 班级 小组 学生姓名 课题： 【学习目标】 1、理解直线的倾斜角与斜率的概念 2、掌握过两点的直线的斜率公式 【重点难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式 难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及 直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系 【学习流程】 ◎基础感知1、问题1：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何 要素是什么？ 追问：还有没有其他确定一条直线的方法？ 思考 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线1（图 2.1-1),如何利用坐标系确定它的位置？ 图2.1-1 我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线， 本学案共6页，第1页。 2、问题2：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素观察 图2.1-2中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？你能用利用直角坐标系中 的一些元素将这些直线区分开来吗？ 设A,B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量.所以，两点 确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线 在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，2，l·,它们组成 一个直线束（图2.1-2），这些直线的区别是什么？ 图2.1-2 在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导， 说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度 在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方 向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些 直线的方向？ 我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成 的角不同。因此，我们可以利用这样图2.1-2的角来表示这些直线的方向， ©探究未知1、倾斜角的定义 (1)当直线1与x轴相交时，把x轴（正方向）按 方向绕着交点旋转 到和直线1首次重合时所成的角，称为直线1的倾斜角.通常倾斜角用α表示 (2)当直线1与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 本学案共6页，第2页。 2.直线的倾斜角α的取值范围为 3.直线的倾斜角的意义是刻画了直线的倾斜程度. 点睛：倾斜角还可以这样定义：当直线1与×轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线1向上 的方向之间所成的角α叫做直线1的倾斜角 >思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角：不同的直线其 倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的， 例题1，设直线1过坐标原点，它的倾斜角为α如果将1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得 到直线1，那么1的倾斜角为() A.a+45 B.a-135° C.135°-a D.当0°≤a<135时.倾斜角为a+45:当135°≤a<180时.倾斜角为a-135 ©展示提升一、情境导学 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿 某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果 是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k上开皇=盟k0表示上坡k0表示下坡，为了实际应 水平距离AD 用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的 呢？ 高 度 A 水平距离 D 坡度是利用高度的平均变化率刻画道路的倾斜程度，与坡度的意义类 似，在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度利用点的坐标表示如下： 本学案共6页，第3页。 已知直线1上两点A(X1,y),B(&2,y2), 则直线1的斜率k= 2一y4(x1+2) X2-X1 显然，若直线1与x轴垂直时，它的斜率不存在；若直线1与x轴不 垂直，则它的斜率存在且唯一。故我们常用斜率来表示直线的倾斜程 度 二、 深化概念 一般地，如图21-4，当向量PE的方向向上时，PE=(x2-x,y2-),平 移向量PP,到OP,则点P的坐标为(c2-x,y2-y),且直线OP的倾斜角也是a, 由正切函数的定义，有 tana= P P 0 图2.1-4 同样，当向量E的方向向上时，如图2.1-5，PF=(K-xy-y),也有 tana=-业=-上 1-x2x2-1 气C 0 图2.1-5 本学案共6页，第4页。 y2-y1 =tanc(&1≠x2) X2-X1 若k是直线1的斜率，则v=(1,k)是它的一个方向向量：若直线1的 一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0，则它的斜率k=兰 三、直线的斜率与倾斜角之间的关系 结合正切函数图像可知，斜率k与倾斜角α有如下关系： 当ae[o,时， 斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大： 当c∈(，π)时，斜率k<O,且k随倾斜角c的增大而增大： 当α