专题1-7 空间向量最值与取值范围十大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题1-7空间向量最值与取值范围十大题型汇总 题型1长度距离相关考点 1 题型2面积相关考点 4 题型3体积相关考点 5 题型4线线角相关考点 8 题型5线面角相关考点 10 题型6面面角相关考点 12 题型7数量积相关考点 13 题型8距离相关考点 14 题型9外接球相关考点 15 ◆类型1半径相关 16 ◆类型2面积相关 17 ◆类型3体积相关 18 ◆类型4长度相关 19 题型10截面相关考点 19 ◆类型1截面面积问题 19 ◆类型2截取长度问题 20 题型1长度距离相关考点 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是侧面（包含边界）上的一动点，若 平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1. （2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）如图，正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为 ． 【变式1-1】3. （2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）如图所示，在四面体 中，底面 是一个边长为2的等边三角形， 的外心为点O，平面 ，且 ，动点 分别在线段（含端点）上和所在的平面中运动，满足 ． （1）则的最大值为 ． （2）则的取值范围为 ． 【变式1-1】4. （多选）（2023·全国·高三专题练习）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ） A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体CDEF的体积的取值范围为 C．平面DEF截得球的截面面积最小值为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【变式1-1】5.（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，P为棱的中点，Q为棱上的动点，平面APQ与棱交于点R，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点Q，使得 B．线段长度的取值范围是 C．当点Q与点B重合时，四棱锥的体积为16 D．设截面AQPR，，的面积分别为，则 题型2面积相关考点 【例题2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】1. （2022·全国·高三专题练习）如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分后，剩下的部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2. （多选）（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，过A，P两点的平面分别交棱，于点Q，R，则下列结论正确的是（    ） A．不存在点Q，使得与AP所成角的余弦值为 B．的长度取值范围是 C．记四边形，，的面积分别为，，，则的最大值为 D．当平面经过点C时，几何体的体积为 【变式2-1】3. （2023秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考开学考试）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； ③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为． 以上所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】4. （2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）在正三棱柱中，，底面的边长为2，用一个平面截此三棱柱，截面与侧棱，，分别交于点，，，且为直角三角形，则的面积的取值范围是 （ ） 题型3体积相关考点 【例题3】（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑，其中平面ABC，，过A作，，记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球体积分别为，，V，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的所有顶点都在体积为的球的球面上，若该正四棱锥的高为，且，则该正四棱锥的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】2. （2023·全国·模拟预测）已知三棱锥的底面是边长为的等边三角形.若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积的取值范围为 . 【变式3-1】3. （2023·全国·高三专题练习）如图，