第22章 二次函数—— 图象和性质，六个关键点 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

二次函数专题系列 第1讲 图象与性质，六个关键点 ——开口、对称轴、顶点、增减性、最值、对称性 知识清单 考点1：抛物线的开口、对称轴、顶点、最值 考点2：二次函数的增减性 考点3：抛物线的对称性 知 识 精 讲 · 考点1：抛物线的开口、对称轴、顶点 【知识总结】 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 典例精讲 【例1】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y=x²，②y=-x²，③y=-2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① . 【解析】当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大.故抛物线I的解析式为y=-x²，抛物线Ⅱ的解析式为y=-2x²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y=x².故填②③①. 【点评】|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大. 【例2】(1)抛物线y=2x²+1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标是 (0，1) ，当x>0时，y随x增大而 增大 . （2）二次函数y=-(x+1)²-2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x=-1 ，顶点坐标是(-1.-2)，当____x>-1____时，y随x增大而减小. （3）二次函数y=-x²-2x+1的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x=1 ，顶点坐标是 (1，2) ，当x<1时，y随x增大而 增大 . 变式训练 1．如图所示，在同一坐标系中，作出①；②；③的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　①③②　． 【解答】解：①，②，③中，二次项系数分别为3、、1，，抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄．故填：①③②． 2．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为　　． 【解答】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，所以，． 3.已知二次函数y=-x²+1，其图象的开口向 下 ，对称轴为 直线x=0 ，顶点坐标为 (0,1) ，该图象的顶点是最 高 点. 4．抛物线的开口 　向下　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　，当　　时，随的增大而增大，当　　时，随的增大而减小． 【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．故答案为：向下，轴，，，． 5．抛物线的开口向　下　，顶点坐标　　，对称轴　　，　　时，随的增大而增大，　　时，随的增大而减小． 【解答】解：为抛物线的顶点式， 图象开口向下，顶点坐标是，抛物线的对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 故答案为：下，，，，． 6．抛物线的开口方向向　下　，对称轴是　 　，最高点的坐标是　 　，函数值的最大值是　 　． 【解答】解：， 开口方向向下，对称轴是直线，最高点的坐标是，函数值的最大值是1． 故答案为：下，直线，，1． 知 识 精 讲 · 考点2：二次函数的增减性 【方法点拨】比较二次函数值的大小的方法： (1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小； (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较. (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的 函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小. 典例精讲 【例1】若点A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=(x+1)²+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2： 【解析】对称轴为直线x=-1，点C(3，y1)关于直线x=-1的对称点C’(-5，y3)，∵a＞0，-5＜-4＜-3，y2＜y1＜y3，应选B. 【例2】下列关于函数y=(x-3)²+1的四个命题：①当x=0时，y有最小值10；②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤r≤n+1时，y的整数值有(2n一4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0+1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b，其中真命题的序号是( Ｃ ) A.① B.② C.③ D.④ 【例3】二次函数y=-(x-h)²+2的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，若y1≤y2，则h的取值范围为＿＿＿＿