1.1.2空间向量的数量积运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影向量的概念.（数学抽象） 2.理解空间向量的数量积的运算律：交换律和分配律.并可以与数的乘法相联系与区别.（数学运算） 3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 W= |F| |s| cos 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题. 复习引入 复习引入 已知两个非零向量 , 作 , ，则 叫做向量 的夹角. 1 向量的夹角: O A B 已知两个非零向量 ,它们的夹角为 ,我们把 叫做向量 的数量积,记做 ,即 = . 2 平面向量数量积: 3 平面向量数量积的性质 4 平面向量数量积的运算律 （交换律） （分配律） （数乘结合律） 新知探究 问题导入：在正方体为的中点，点为上靠近的三等分点处，如何确定， 的夹角？ 我们知道任意两个空间向量可平移到同一平面，因此可转化为平面向量再求其夹角。 两平面向量的夹角是如何求得的？该过程能推广到空间吗？ 新知探究 如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作. 如果，那么向量互相垂直，记作. 通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 空间向量夹角定义 新知探究 思考：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？ 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 向量的数量积定义，可以得到： . 数量积的运算性质 ①a·e=|a|cos<a,e>(e为单位向量). ②若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0; ③若a与b同向,则a·b=|a||b|; 若a与b反向,则a·b=-|a||b|. 特别地,|a|2=a·a或|a|= . ④若θ为a,b的夹角,则cos θ= . ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立) (1) (2) A B (3) (1) (2) A B (3) a c b 不能 不能 向量没有除法运算，因为有两种乘法：一是数量积a·b，二是向量积a×b，所以向量的除法没有意义. 不成立 当a与c共线时，(a·b)·c＝a·(b·c)成立； 当a与c不共线时，(a·b)·c≠a·(b·c). 因此，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立. 向量的数量积不满足结合律. 证明: 空间向量数量积及其计算 例 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点， 求： ＝cos 600－cos 600＝0. 【练】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解（1）∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 空间向量数量积及其计算 ＝4－0＋0－2＝2. 2 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点． 求cos〈，〉的值． 解　因为＝－＝＋－， ＝＋， 所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝， ||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝， ＝()·()＝2－2＝22－12＝3， 所以cos〈，〉＝＝＝ 利用数量积求夹角 空间向量的数量积 空间向量的数量积 求两个非零向量夹角的两种途径 (1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉= 方法总结 问题 如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB = 5， AD = 3，AA'= 7，∠BAD = 60°，∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求： (1) ；(2) AC'的长（精确到0.1）. 追问(1) 如何计算 ？它们的长度，夹角是多少？ AB，AD的长度和夹角均已知，AB＝5，AD＝3， ∠BAD = 6