专题05 圆的标准方程与一般方程（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题05 圆的标准方程与一般方程 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 知识点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 重难点题型突破01 求圆的标准方程 例1．（1）、（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． （2）、（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考开学考试）已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破02 求圆的标一般方程 例2、（1）、（2022·全国·高三专题练习）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______. （2）、（2023秋·高二课时练习）方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（2022·江苏·高二单元测试）方程所表示圆的圆心与半径分别为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2023·全国·高二专题练习）圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为 . 例3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程． 例4．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，求： (1)过点且周长最小的圆的标准方程； (2)过点且圆心在直线上的圆的标准方程． 重难点题型突破03 点与圆的位置关系 例5．（1）、（2022秋·吉林通化·高二校考阶段练习）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）、（2022·浙江·高三专题练习）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】、（2021·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】、（2020·河北邯郸·高二期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 重难点突破04 圆的最值问题（几何关系） 例6．（1）、（2022·全国·高二单元测试）若x，y满足，则的最小值是（       ） A．5 B． C． D．无法确定 （2）、（2022·全国·高二课时练习）已知圆，则的最大值与最小值的和为（       ） A． B． C． D． （3）、（2023春·上海长宁·高二上海市延安