专题05 平面上的距离12种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题05 平面上的距离12种常见考法归类 1、中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 2、两点之间的距离公式 （1）平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝. 公式推导：已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ ①当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|； ②当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|； ③当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1P＝P1Q2＋QP， 所以P1P2＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝. （2）原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|. (3)此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决． 3、点到直线距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝. 公式推导：如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点Q， ∴PQ＝. 注意点： (1)点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； (2)利用公式时直线的方程必须是一般式； (3)分子含有绝对值； (4)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． (5)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离 4、两条平行直线间的距离 （1）两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． （2）公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 公式推导：怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 5、计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 6、由两点间距离求参数值 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解． 7、坐标法的应用 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 8、两点到直线距离相等问题 两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 9、点到直线距离公式的简单应用 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 10、有限制条件的点到直线的距离的问题 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 11、求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 12、平行直线间的距离的最值问题应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”