第1章全等三角形（探究全等三角形中常见模型之三垂直模型+一线三等角模型+旋转模型）2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形（探究全等三角形中常见模型之三垂直模型+一线三等角模型+旋转模型） 【典型例题】 题型一：三垂直模型 【例题】如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【变式训练】 1.问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 2.如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 3.如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 题型二：一线三等角模型 【例题】如图，在中，，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，DE交线段AC于E． (1)点D从B向C运动时，逐渐变__________（填“大”或“小”），但与的度数和始终是__________度． (2)当DC的长度是多少时，，并说明理由． 【变式训练】 1.【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： 如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； 如图2，为正三角形，，则________； 2.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点，∠DBA=∠DAB，AB=6，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形ABCD中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 3.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 题型三：旋转模型 【例题】如图，中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【变式训练】 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝50°．D是△ABC内任一点，将△ADC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D的对应点为E． （1）求证：EB＝DC； （2）连接DE． ①若∠BED＝50°，则∠ADC＝ °； ②若E、D、C在一直线上，则∠BED＝ ° 2.如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 3.如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不