第5讲 数列不等式-2024年新高考数学《大题专项训练之数列篇》

第5讲 数列不等式 1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，，．证明：当时，． 2．（2022秋·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考期中）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求证：. 3．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 4．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）设数列的前n项和为，且满足(n∈N*). (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前2n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围. 5．（2022·山东烟台·统考三模）已知数列的前项和为，，当时，. (1)求； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足， (1)求和 (2)求证：． 7．（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）已知数列的前项和满足，，. (1)求的通项公式； (2)数列，满足，且，求证：. 8．（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为． (1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）； (2)若，求的前n项和，并证明：． 9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 10．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 11．（2022秋·重庆云阳·高二校考期末）已知正项等比数列的前项和为，是和的等差中项，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且的前项和为，求使得成立的的最小值. 12．（2022·全国·高一专题练习）在数列中，已知，，. (1)若，求数列的通项公式； (2)记，若在数列中，，求实数的取值范围. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}满足∈N*，为该数列的前n项和. (1)求证：数列{}为递增数列； (2)求证：. 14．（2022·全国·高二专题练习）设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，为的前n项和. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和满足对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围. 16．（2022春·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求； (2)求证：． 17．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为,且满足. (1)求数列的通项公式; (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围. 18．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列，是等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：； (3)记，求数列的前项和． 19．（2022·浙江·模拟预测）已知数列的通项公式为，为数列的前n项和. (1)求； (2)若对于，恒成立，求的取值范围. 20．（2022·辽宁沈阳·沈阳二中校考二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)等比数列的前项和为，且，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足的的最大值. ①；②；③. （注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.） 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共1页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第5讲 数列不等式 1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，，．证明：当时，． 2．（2022秋·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考期中）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求证：. 3．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 4．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）设数列的前n项和为，且满足(n∈N*). (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前2n项和为，