第4讲 数列的综合应用-2024年新高考数学《大题专项训练之数列篇》

第4讲 数列的综合应用 1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 2．（2023·全国·高三专题练习）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高. (1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项； (2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由. 3．（2023·全国·高三对口高考）已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式； （III）若数列满足证明是等差数列 4．（2023·山西晋中·统考二模）已知数列满足，. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知数列是各项均为正整数的等比数列，且，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，设数列的前项和为，求证：． 6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 7．（2023·全国·高三专题练习）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）. (1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息； (2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，， 8．（2022·甘肃酒泉·敦煌中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 9．（2023·全国·高三专题练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的． (1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式； (2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 10．（2022秋·湖南长沙·高三校考开学考试）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为． （1）若，求m的值； （2）求的值． 11．（2022·江苏·高二专题练习）已知数列和，其中，，数列的前项和为． (1)若，求； (2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式． 12．（2023·天津北辰·校考模拟预测）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，， (1)求，的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和． 13．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知等差数列和等比数列满足，，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 14．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 15．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项积为，若