13.4 课题学习-最短路径问题教案 2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 一、教学目标 1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想． 二、教学重难点 重点：利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题. 难点：体会图形的变化在解决最值问题中的作用． 三、教学过程 【新课导入】 [复习导入] 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？(②最短，依据“两点之间，线段最短”) 2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？(PC最短，依据“垂线段最短”) 3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？(AC=BC.依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.) 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？(作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点.可简记为：作垂线；取等长) 教师带领学生复习与最短路径相关的知识，为本节课的学习做准备. 【新知探究】 知识点1牧人饮马问题 [提出问题]引例如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 这里强调一下两点的位置：直线l异侧的两个点. [课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程： [提出问题]你找到的是哪个点？ [学生回答]学生观察后，发现第3条线段很明显是最短的.依据是“两点之间，线段最短”. [提出问题]根据这个依据，你可以得到作法吗？ [课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程： 作法：连接AB,与直线l相交于一点C.点C即为所求作的点. [课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1： 问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ [提出问题]这是一个实际问题，那么我们怎样把它转化成数学问题呢？ [小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地看成点，把笔直的河边看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错. [课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程： 问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题： 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？ 这里注意强调点A，B的位置：是直线l同侧的两个点. [课件展示]教师利用多媒体展示如下动画： [提出问题]你找到的是哪个点？ [学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置. [课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图： [提出问题]你能找出两幅图中，A，B两点的位置有什么不同吗？（同侧、异侧） [课件展示]教师利用多媒体展示如下动画： [提出问题]我们分析，如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. 那么怎么找到B′呢？（作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.） [课件展示]教师利用多媒体展示如下动画： 此时，问题就转化为:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小. [学生回答]很明显，连接AB′，与l的交点即为点C. [课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程： 作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′; 连接AB′,交直线l于点C. 点C即为所求作的点. [提出问题]怎样证明点C的位置即为所求？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B. [学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，A、C、B在一条直线上.学生思考完毕，教师点名学生说出自己的答案，教师纠错. [课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程： 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴AC +BC=AC +B′C=AB′， ∴AC′+BC′=AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴AC +BC＜AC′+BC′． 即AC +BC 最短． [归纳总结]利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件：（1）定直线l；（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;（3）所求作的动点C在直线l 上. 解决”牧人饮马“问题的步骤：（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′