勾股定理的证明及应用 讲义 2023－2024学年北师大版数学八年级上册

勾股定理的证明及应用 知识梳理 知识精讲 1. 勾股定理 定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么. 变形 ,,. 2. 勾股定理的证明 证明方法一:(赵爽弦图) 证明方法二:(等面积法) 证明方法三:(总统证法) 三.易错点: 1. 运用勾股定理求直角三角形边长时,注意分清直角边和斜边,采用正确的计算公式。 如∠C=90°时,公式为,∠A=90°时,公式为,∠B=90°时,公式为。 1. 计算结果注意开平方,开方要彻底,如或 化简不完全 1. 注意隐含条件。如已知直角三角形的两边长为3cm,4cm,求第三边长。不能理所当然的认为3cm,4cm为直角边,应考虑多种情况,3cm一定为直角边,但4cm可能为直角边,也可能为斜边 证明 例题 例题1、下列选项中,不能用来证明勾股定理的是( ) A. B. C. D. 随练1、中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题: (1)试说明a2+b2=c2; (2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值. 勾股定理 例题 例题1、直角三角形两条边的长度分别为,,那么第三条边的长度是_. 例题2、在中,,,,则点到斜边的距离是( ) A. B. C.9 D.6 例题3、如图,数轴上的点表示的数是,点表示的数是1,于点,且,以点为圆心,为半径画弧交数轴于点,则点表示的数为( ) A.2.8 B. C. D. 例题4、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为,则正方形,,,的面积之和为_. 例题5.如图所示:某商场有一段楼梯,高BC=6m,斜边AC是10米,如果在楼梯上铺上地毯,那么需要地毯的长度是( ) A.8m B.10m C.14m D.24m 第4题 第5题 例题6.如图,一架长25米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端离墙7米. (1)此时梯子顶端离地面多少米? (2)若梯子顶端下滑4米,那么梯子底端将向左滑动多少米? 随练 1.一个直角三角形,两直角的边长分别为5和12,下列说法正确的是( ) A.斜边长为13 B.三角形的周长为20 C.斜边长为30 D.三角形的面积为60 2.如图所示:数轴上点所表示的数为,则的值是( ) A. B. C. D. 3.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下,倒下后树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为 ( ) A. 25cm B. 18m C. 17m D. 13m 4.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 5.如图是一个轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为_ _. 6.如图,在Rt△AOB和Rt△COD中,AB=CD=25,OB=7,AC=4. (1)求OC的长; (2)求BD的长. 7.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都为1,每个小格的顶点叫做格点,按下列要求画出格点三角形. (1)三边长分别为3,,; (2)三边长分别为5,, 勾股定理的逆定理 知识精讲 一.勾股定理逆定理 序号 性质 图示 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形 勾股定理与其逆定理 勾股定理: △ABC是直角三角形 → 逆定理: → △ABC是直角三角形 勾股数 1.勾股数:满足 的三个正整数 2.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数 常用勾股数:3、4、5;5、12、13; 6、8、10; 7、24、25; 8、15、17;9、40、41 二.易错点: 1. 运用勾股定理判断三角形形状时,注意对直角的确定 如,Rt△ABC中,∠B=90°,a=5,b=12,求c的长 ∵∠B=90° ∴b=12为斜边,而不是长直角边 1. 勾股数需要①满足勾股定理外,②满足是正整数 如 ,32、42、52 并不满足勾股定理 虽然满足勾股定理,但并不都是正整数,因此不是一组勾股数 勾股定理逆定理 例题 例题1、已知三角形三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为_. 例题2、下列说法正确的有( ) ①△ABC是直角三角形,∠C=90°,则a2+b2=c2.②△ABC中,a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形.③若△ABC中,a2﹣b2=c2,则△ABC是直角三角形.④若△ABC是直角三角形,则(a+b)(a﹣b)=c2. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 例题3、如图,在单位正方形