课时作业19 恒成立、能成立问题-（课时作业）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

hh 课时作业19 恒成立、能成立问题 1.(2023·江西南昌摸底)已知函数f(x)=ex + (1-a)x-ln a·ln x(a>0). (1)若a=e,求函数f(x)的单调区间; (2)若不等式f(x)<1在区间(1,+∞)上有 解,求实数a的取值范围. 2.(2022·北京大兴区兴华中学三模)设函数 f(x)=aex -x-1,a∈R. (1)当a=1时,求f(x)在点(0,f(0))处的切 线方程; (2)当x ∈R时,f(x)≥0恒成立,求a的取 值范围; (3)求证:当x ∈ (0,+∞)时, ex -1 x >e x 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -328- 第三章 一元函数的导数及其应用 3 3.(2023·天津西青开学考试)已知函数f(x)= ex -ax-a,g(x)= aln x-ax2+a-e x (a≥ 0),其中e是自然对数的底数. (1)当a=e时, ① 求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; ② 求f(x)的最小值; (2)讨论函数g(x)的零点个数; (3)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤g(x) 成立,求a的取值范围. 4.(2023·江苏南京外国语学校模底)已知函数 f(x)=ln x-ax2-bx(a,b∈R). (1)当a=0时,若f(x)≤0在(0,+∞)上恒 成立,求实数b的取值范围; (2)设x1,x2 为f(x)的两个不同零点,证明: f(x1+x2)< x1+x2 e -2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -329- hh 2.解:(1)f'(x)= 1 x+1- 1-x2 = -x(x2+x+1) x+1 , ∵x ∈ - 1 2 ,1 , 令f'(x)>0,得x ∈ - 1 2 ,0 ,令 f'(x)<0,得x ∈ (0,1), 所以f(x)的单调递增区间为 - 12, 0 ,单调递减区间为(0,1). (2)证明:设h(x)=f(x)-g(x)= ln(x+1)-x-ax2- x3 3 ,若证f(x)≤ g(x)成立,即证h(x)max ≤0. h'(x)= 1 x+1- 1-2ax-x2 = -x[x2+(2a+1)x+(2a+1)] x+1 , 在一元二次方程 x2 + (2a+1)x + (2a+1)=0中,Δ = (2a +1)2 - 4(2a+1)= (2a+1)(2a-3), 当- 1 2 ≤a≤ 3 2 时,Δ≤0,所以x2+ (2a+1)x+2a+1≥0, 当x∈ - 1 2 ,0 时,h'(x)>0,h(x) 单调递增,当x ∈ (0,1)时,h'(x)< 0,h(x)单 调 递 减,所 以 h(x)max = h(0)=0,h(x)≤0恒成立. 当a> 3 2 时,Δ>0,令y=x2+(2a+ 1)x+(2a+1),则y =x2 +(2a+ 1)x+(2a+1)对称轴为直线 x = - 2a+1 2 <-2 , 所以当x ∈ - 1 2 ,1 时,函数y = x2+(2a+1)x+(2a+1)单调递增, 当x= - 1 2 时,取最小值a+ 3 4 >0 , 所以x2+(2a+1)x+2a+1>0,所 以当 x ∈ - 1 2 ,0 时,h'(x)>0, h(x)单调递增, 当x ∈ (0,1)时,h'(x)<0,h(x)单 调递减,所