1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算 第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算 教学目标 1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象) 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算) 3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算) 复习回顾 问题 （1）空间中共线向量的定理是什么？ （2）共面向量基本定理于是什么？ （3）四点共面的充要条件是什么？ 向量共面的充要条件:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使. 新课导入 导 平面向量及其线性运算 空间向量及线性运算 推广 平面向量数量积运算 空间向量数量积运算 推广 类比与转化 思 探究：类比平面向量的数量积运算，将平面向量数量积推广到空间数量积的运算 问题 回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？ 定义夹角 数量积定义 运算律 运用 思 问题 什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量的夹角得出空间向量的夹角定义？ B A 向量是可以平移的 平面向量的夹角 两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做 ＝a ， ＝b ，则∠AOB叫做向量 a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π. 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b . b a . O α A B 空间向量的夹角 两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做 ＝a ， ＝b ，则∠AOB叫做向量 a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π. 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b . b a . O α A B 两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即： a · b＝|a||b|cos〈a，b〉. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？ 空间两个向量的数量积性质 例1 注： 　性质②是证明两向量垂直的依据； 　性质③是求向量的长度（模）的依据. 例1 问题:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影向量 b a A B A1 D C B1 b a . O N M M1 ＝|a|cos〈a,b〉 作法1 作法2 追问：在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？ A B (1) (2) (3) 问：类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？ 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b), λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 平面向量数量积的运算律： 空间向量？ 同样满足上述运算律！ A O B C 分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明 a b c C’ A B C O  题型三　用数量积求角度  总结 跟踪训练 探究 利用数量积求距离或长度 例 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离. 【练习1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求 【解】 （1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？ （2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？ （3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？   课堂小练 B A B 回顾本节课的学习过程，你学到了什么？ 1 数量积运算解决立体几何问题 (1) 求空间中两点间的距离或线段长度：求对应的向量的模 (2) 求空间中两条异面直线所成的角：求对应的两个向量的夹角 (3) 证明线线垂直问题：对应的两向量的数量积为零 2 类比平面向量的研究方法 类比 猜想 证明或转化 推广 感谢观看 例：已知向量 ，向量 与 的夹角 都是 ,且 ,下列各式的值: (1) ;(2) ;(3) . 解：∵ ∴ 补充．在空间四边形 中， ， ， ， ， ， ， 求 与 的夹角的余弦值 ∴ 与 的夹角的余弦值为 ． 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 